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【设函数,函数(其中,e是自然对数的底数).(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)若在上恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)设,求证:(其中e是自然对数的底数).】
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更新时间:2023-01-31 14:47:41
问题描述:

设函数,函数(其中,e是自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求函数的极值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设,求证:(其中e是自然对数的底数).

阮堃回答:
  设函数,函数(其中,e是自然对数的底数).(Ⅰ)当时,求函数的极值;(Ⅱ)若在上恒成立,求实数a的取值范围;(Ⅲ)设,求证:(其中e是自然对数的底数).(Ⅰ),函数,,当时,;当时,,故该函数在上单调递增,在上单调递减.∴函数在处取得极大值.4分   (Ⅱ)由题在上恒成立,∵,,∴,   若,则,若,则恒成立,则.   不等式恒成立等价于在上恒成立,···6分   令,则,   又令,则,∵,.   ①当时,,则在上单调递减,∴,   ∴在上单减,∴,即在上恒成立;··7分   ②当时,.   ⅰ)若,即时,,则在上单调递减,∴
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