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猜想Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)的表达式,并用数学归纳法证明
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更新时间:2023-01-28 05:46:34
问题描述:

猜想Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)的表达式,并用数学归纳法证明

郭新宇回答:
  Sn=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)   =(1-1/2)+(1/2-1/3)+.+[1/n-1/(n+1)]   =1-1/(n+1)   =n/(n+1)   用数学归纳法证:   当k=1时:S1=1/1*2=1/2k/(k+1)=1/2所以Sk=k/(k+1)   假设当k=n时成立,即:Sn=n/(n+1)   那么当k=n+1时,证明S(n+1)=(n+1)/(n+2)即可   S(n+1)=1/1*2+1/2*3,...,1/n*(n+1)+1/(n+1)(n+2)   =n/(n+1)+1/(n+1)(n+2)   =n(n+2)/(n+1)(n+2)+1/(n+1)(n+2)   =(n^2+2n+1)/(n+1)(n+2)   =(n+1)^2/(n+1)(n+2)   =(n+1)/(n+2)   所以综上:Sn=n/(n+1)   o(∩_∩)o...
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