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大学数学设x=x(u,v),y=y(u,v)是由方程组xu+y=1、x-yv=0所确定的隐函数
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更新时间:2023-01-31 15:56:12
问题描述:

大学数学设x=x(u,v),y=y(u,v)是由方程组xu+y=1、x-yv=0所确定的隐函数

黄作明回答:
  令y/x=ε,z/x=η.   F(y/x,z/x)=F(ε,η)=0,   记Fx,Fy,Fz分别表示对x,y,z求偏导;Fε,Fη分别表示对ε,η求偏导   Fx=Fε*d(y/x)/dx+Fη*d(z/x)/dx=-y/x^2*Fε-z/x^2*Fη,(1)   Fy=Fε*d(y/x)/dy+Fη*d(z/x)/dy=1/x*Fε,(2)   Fz=Fε*d(y/x)/dz+Fη*d(z/x)/dz=1/x*Fη,(3)   由隐函数定理:   δz/δx=-Fx/Fz,δz/δy=-Fy/Fz代入   x(δz/δx)+y(δz/δy)=z等价于要证:-x*Fx-y*Fy=z*Fz,利用(1),(2),(3)式有:   -x*Fx-y*Fy=-x*(-y/x^2*Fε-z/x^2*Fη)-y*1/x*Fε   =y/x*Fε+z/x*Fη-y/x*Fε=z/x*Fη=z*Fz.   得证!
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